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如图,中国人民解放军空军某部某进行飞行演习,飞行员驾驶战鹰掠过某圆形区域点,在演习总部的战区示意图上显示,战鹰的轨迹为抛物线y=16x2+bx+c,圆形区域圆心M距指挥中心O距离为4千
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/71cf3bc79f3df8dc90f9c46bce11728b46102807.jpg)
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(1)求点C的坐标,确定战鹰的轨迹抛物线的解析式;
(2)战鹰轨迹上有点Q(8,m),点P为此抛物线对称轴上一个移动观察哨,求PQ-PA的最大值;
(3)CE是过点C的⊙M的切线,点E是切点,在抛物线上是否存在一点N,使△CON的面积等于△COE的面积?
▼优质解答
答案和解析
(1)由已知,得A(2,0),B(6,0),
∵抛物线y=
x2+bx+c过点A和B,则
.
解得
.
则抛物线的解析式为y=
x2-
x+2
故C(0,2).(说明:抛物线的大致图象要过点A、B、C,其开口方向、顶点和对称轴相对准确)
(2)由抛物线的解析式y=
x2-
x+2可求出抛物线对称轴l是x=4.
当x=8时,y=m=
•82-
•8+2=2.PQ-PA的最大值=AC=2
.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c995d143ad4bd1131f09fcc859afa40f4afb0507.jpg)
(3)如图②,连接EM和CM.
由已知,得EM=OC=2.
CE是⊙M的切线,
∴∠DEM=90°,则∠DEM=∠DOC.
又∵∠ODC=∠EDM.
故△DEM≌△DOC.
∴OD=DE,CD=MD.
又在△ODE和△MDC中,∠ODE=∠MDC,∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC.
则OE∥CM.
设CM所在直线的解析式为y=kx+b,CM过点C(0,2),M(4,0),
∴
.
解得
.
直线CM的解析式为y=−
x+2.
又∵直线OE过原点O,且OE∥CM,
则OE的解析式为y=−
x.
如图②,连接EM和CM.显然△DEM≌△DOC.
∴OD=DE,CD=MD.
设OD=x,CD=4-x,可求得OD=1.5,CD=2.5然后求出E点的坐标(2.4,-1.2).
最后过E点作y轴的平行线与抛物线的交点即为所求.另外在y轴的左侧也有一个符合要求.
∵抛物线y=
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解得
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则抛物线的解析式为y=
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故C(0,2).(说明:抛物线的大致图象要过点A、B、C,其开口方向、顶点和对称轴相对准确)
(2)由抛物线的解析式y=
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当x=8时,y=m=
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(3)如图②,连接EM和CM.
由已知,得EM=OC=2.
CE是⊙M的切线,
∴∠DEM=90°,则∠DEM=∠DOC.
又∵∠ODC=∠EDM.
故△DEM≌△DOC.
∴OD=DE,CD=MD.
又在△ODE和△MDC中,∠ODE=∠MDC,∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC.
则OE∥CM.
设CM所在直线的解析式为y=kx+b,CM过点C(0,2),M(4,0),
∴
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解得
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直线CM的解析式为y=−
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又∵直线OE过原点O,且OE∥CM,
则OE的解析式为y=−
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如图②,连接EM和CM.显然△DEM≌△DOC.
∴OD=DE,CD=MD.
设OD=x,CD=4-x,可求得OD=1.5,CD=2.5然后求出E点的坐标(2.4,-1.2).
最后过E点作y轴的平行线与抛物线的交点即为所求.另外在y轴的左侧也有一个符合要求.
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