怎么用定积分和微积分基本定理推导球的表面积公式?用微积分的基本定理推导球的表面积公式,我的方法如下：设球的半径为r,以球面任意大圆为水平面,只考虑半球的表面积,很显然这是若干

Question

怎么用定积分和微积分基本定理推导球的表面积公式?
用微积分的基本定理推导球的表面积公式,我的方法如下：
设球的半径为r,以球面任意大圆为水平面,只考虑半球的表面积,
很显然这是若干相互平行的小圆周长在半径属于区间[0,r]上的定积分
设半球内一点到水平面距离为x,f(x)为过这个点且与水平面平行的小圆的周长,显然有f(x) = 2π* (r^2 - x^2)^1/2,
半球表面积S = ∫[0,r] f(x) dx （我实在不会把0和r打成上下排列）
= F(r) - F(0),其中F(x) =4/3 π * (r^2 - x^2)^3/2
解得S = 0 - 4/3π * r^3 = -4/3 π * r^3.
这个答案显然是错误的,但我实在不知道错误出在哪儿,

Answer 1

要先看看偏导数和重积分,极坐标,等等了,推导如下 偏导数的符号我用ψ来表示了,那个符号打不出
曲面面积公式：S=∫∫（D)√1+（ψz/ψy)^2+(ψz/ψx)^2 dxdy
if球的半径为a
取上半球的方程z=√a^2-x^2-y^2
它在x0y上的投影区域D=(x,y)x^2+y^2≤a^2
ψz/ψy=-x/√a^2-x^2-y^2
ψz/ψx=-y/√a^2-x^2-y^2
√1+（ψz/ψy)^2+(ψz/ψx)^2 =a/√a^2-x^2-y^2
因为该函数在D上无界,不能直接用面积公式,弦先去一个区域D1=(x,y)x^2+y^2≤b^2 (0＜b＜a)
计算出面积后使b→a,便计算出面积
S1=∫∫（D1)a/√a^2-x^2-y^2 dxdy
用极坐标：
S1=∫∫（D1)a/√a^2-ρ^2 ρdρdθ=a*∫(2π,0)dθ*∫(b,0)ρdθ/√a^2-ρ^2
=2πa*∫(b,0)ρdθ/√a^2-ρ^2
=2πa(a-√a^2-b^2)
当b→a
求得S=2πa^2
这是半个球的面积
S球=4πa^2