矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P为矩形内部一点，且AP=1．若AP=λAB+μAD（λ，μ∈R），则2λ

Question

矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P为矩形内部一点，且AP=1．若

AP

=λ

AB

+μ

AD

（λ，μ∈R），则2λ+ √(3)μ的最大值是___．

Answer 1

如图所示，依题意知，λ>0，μ>0；
根据条件，

AP

2=λ²

AB

2+2λμ

AB

•

AD

+μ²

AD

2=4λ²+μ²=1；
令λ=(1)/(2)cosθ，μ=sinθ，θ∈[0，(π)/(2)]，
所以2λ+√(3)μ=cosθ+√(3)sinθ=2sin（θ+(π)/(6)）；
所以当θ=(π)/(3)时，sin（θ+(π)/(6)）=1，此时2λ+√(3)μ取得最大值2．
故答案为：2．