设数列的前项和为，且满足.（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）求通项公式；（Ⅲ）若数列是首项为1，公差为2的等差数列,求数列的前项和为.

Question

设数列 的前 项和为 ，且满足 .
（Ⅰ）求证：数列 为等比数列；
（Ⅱ）求通项公式 ；
（Ⅲ）若数列 是首项为1，公差为2的等差数列,求数列 的前 项和为 .

Answer 1

设数列 的前 项和为 ，且满足 .
（Ⅰ）求证：数列 为等比数列；
（Ⅱ）求通项公式 ；
（Ⅲ）若数列 是首项为1，公差为2的等差数列,求数列 的前 项和为 .

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ） . （Ⅲ） .

(I)根据 ,可得 ,
从而可证明： 为等比数列.
(II)在（I）的基础上先求出 的通项公式，然后再根据S _n 求出a _n .
(III)先求出 ,
再根据a _n 的通项公式求出b _n ,由于 ,所以易采用错位相减的方法求和
证明：（Ⅰ）因为 ,所以 . 又 ,
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 .当 时， .
当 时，   .
故 .
（Ⅲ）因为 数列 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 .所以 .
所以 .
所以 .
所以
.
所以 .