设A是n×（n-1）矩阵，证明：方程组AX=β有解时，该方程组的增广矩阵（Aβ）的行列式|Aβ|=0．试问，反之是否成立？

Question

设A是n×（n-1）矩阵，证明：方程组AX=β有解时，该方程组的增广矩阵（A β）的行列式|A β|=0．试问，反之是否成立？

Answer 1

由于方程组AX=β有解，因此
r（A）=r（A β）
而A是n×（n-1）矩阵
∴r（A）≤n-1
∴r（A β）≤n-1
∴（A β）不可逆
∴|A β|=0．
反之，若|A β|=0，
设(A，β)＝

1	0	0
0	0	0
0	0	1

，此时满足|A β|=0，但是
由于r（A）=1＜2=r（A β）
∴方程组AX=β无解．