各项均不相等的等差数列{an}的前四项的和为S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；（2）记Tn为数列{1an•an+1}的前n项和，若Tn≤λan+1对任意的正整数n都成立

Question

各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项的和为S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n；
（2）记T_n为数列{(1)/(an•an+1)}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对任意的正整数n都成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

（1）设公差为d，则
∵S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列
∴4a₁+6d=14，（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d）
∵d≠0，∴d=1，a₁=2，
∴a_n=n+1，
s_n=(n(2+n+1))/(2)=(n(n+3))/(2)．
（2）(1)/(an•an+1)=(1)/((n+1)(n+2))=(1)/(n+1)-(1)/(n+2)
∴T_n=(1)/(2)−(1)/(3)+(1)/(3)−(1)/(4)+…+(1)/(n+1)−(1)/(n+2)=(1)/(2)-(1)/(n+2)=(n)/(2(n+2))
∵T_n≤λa_n+1对任意的正整数n都成立，
∴(n)/(2(n+2))≤λa_n+1对任意的正整数n都成立，
等价于λ≥(n)/(2(n+2)2)对∀n∈N^*恒成立．
又(n)/(2(n+2)2)=(1)/(2(n+(4)/(n)+4))≤(1)/(2(4+4))=(1)/(16)，且在n=2时取等号，
所以实数λ的最小值为(1)/(16)．