如图，在平面直角坐标系中，直线y=-34x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为x轴正半轴上一点，S△ABC=9．（1）求点C的坐标；（2）若线段AB上一点M到坐标轴的距离相等．①求点M的坐标及直线OM

Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-(3)/(4)x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为x轴正半轴上一点，S_△ABC=9．

（1）求点C的坐标；
（2）若线段AB上一点M到坐标轴的距离相等．
①求点M的坐标及直线OM的函数表达式；
②若点P为直线OM上一动点，且∠APM=∠CPM，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵直线y=-(3)/(4)x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴可得A（-4，0），B（0，-3），设C（m，0），
由题意(1)/(2)•（4+m）×3=9，
∴m=2，
∴点C坐标为（2，0）．

（2）①点M到坐标轴的距离相等，
∴OM是一、三象限的角平分线，
∴直线OM的解析式为y=x，
由

y=x

y=-(3)/(4)x-3

解得

x=-(12)/(7)

y=-(12)/(7)

，
∴点M坐标为（-(12)/(7)，-(12)/(7)）．

②如图，设点P（m，m），作OE⊥AP于E，OF⊥PC于F．
∵(S△PAO)/(S△POC)=((1)/(2)•PA•OE)/((1)/(2)•PC•OF)=(OA)/(OC)，
又∵∠APM=∠CPM，OE⊥AP于E，OF⊥PC于F．
∴OE=OF，
∴(PA)/(PC)=(OA)/(OC)=2，
∴PA=2PC，
∴PA²=4•PC²，
∴（m+4）²+m²=4[（m-2）²+m²]，
∴m=4或0（舍弃），
∴点P的坐标为（4，4）．