陶维林数学概念教学，怎样引入自然

Question

陶维林 数学概念教学，怎样引入自然

Answer 1

主要目的是提出问题。

我们概念小组的老师大家都来思考思考。通过具体案例，对各种引入方法作出分析，最后进行一些概括。

这个问题的研究可能对概念教学设计（甚至教材建设）有一定意义。

不知总课题组是否赞成。

先看几个具体例子：

1．指数函数的引入

第一种

教师呈现问题：

问题1 从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古莲子的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C。动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变。经过科学测定，若14C的原始量为1，经过x年后的残留量为y＝0.999879x。现测得出土的古莲子中14C残留量占原始量的87.9%，借助计算器测算古莲子的年龄（精确到1年）。

问题2 人口问题是一个世界问题。2006年底某国家的人口总数约为1亿。据测算该国家人口的年平均增长率为1.3%，未来x年后该国家人口的数量为y＝（1＋1.3%）x。请填写表格中各年后该国家人口数量（精确到0.01亿）。
x年后

10

20

30

40

50

人口数











在解决这两个问题的过程中，我们使用了什么数学模型？

第二种

师：我们已经学习了函数的概念、图象与性质，大家都知道，函数是刻画两个变量之间的关系的模型，比如，正方形的面积S与边长x之间的关系，可以用函数S＝x2来刻画；距离S一定时，平均速度v与时间t之间的关系，可以用函数v＝来刻画。那么，有没有不能用正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数模型刻画的例子呢？

第三种

同学们在初中学习过二次函数y＝x2，想过没有，把右边的底数与指数换一换，成为y＝2x。这样自变量在指数上，而底数是常数。

在生活中有这样的函数吗？请你举例。

一般形式怎样？

各自特点：

第一种：从生活中指数函数的具体实例引入，由具体到抽象，概括获得模型。便于让学生感受指数函数与实际联系，感受指数型增长模型。

第二种：从学习内容的前后联系出发，让学生感受到已学过的函数“不够用了”，有必要学习新的函数模型。即便学习过指数函数，可以想见，还要学习其他各种各样的函数模型。

第三种：引导学生从数学的内部提出问题。由关系式ab＝N，其中一个作为常量，另外两个中一个作为自变量，另一个作为因变量可以提出几个函数，引导学生发现问题。也为今后对数函数、幂函数的提出打下伏笔。

你喜欢哪一种？

2．集合的交与并

第一种

我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？

考察下列各个集合，你能说出集合C与集合AB之间的关系吗？

（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；

（2）A={ x|x是有理数}，B={ x|x是无理数}，C={ x|是实数}。

在上述两个问题中，集合A，B与集合C之间都具有这样一种关系，集合C是由集合A或集合B的元素组成的。

一般地，… （给出并集的定义。）

第二种

A在S中的补集有由给定的两个集合A，S得到的一个新集合，这种由两个集合得到的一个新集合的过程称为集合的运算。其实，由两个集合（或几个集合）得到一个新集合的方式很多，集合的交与并就是常见的两种集合运算。

用Venn图分别表示下列各组中的3个集合：

（1）A={－1，1，2}，B={－2，－1，1}，C={－1，1}；

（2）A={ x|x≤3}，B={ x|x＞0}，C={ x|0＜x≤3}；

（3）A={ x|x为高一（1）班语文测试优秀者}，B={ x| x为高一（1）班英语测试优秀者}，C={ x|x为高一（1）班语文、英语两门测试优秀者}；

上述每组集合中，A，B，C之间具有怎样的关系？

容易看出，集合C中的每一个元素既在集合A中，又在集合B中。（给出交集的概念及符号表示。）

第三种（一个教师的教学）

前面我们学习了集合、集合的表示、集合的分类、元素与集合之间的关系、子集、补集等概念，接下来，我们应该研究什么？

你认为，两个集合可不可以进行运算？如果能进行运算，可以进行哪些运算？该怎样进行这些运算？