如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P，其质量m=2×10-2kg，电荷量q=0.2C．将弹簧拉至水平后，以初速度V0=20m/s竖直向下射出小球P，小

Question

如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P，其质量m=2×10 ^-2  kg，电荷量q=0.2C．将弹簧拉至水平后，以初速度V ₀ =20m/s竖直向下射出小球P，小球P到达O点的正下方O ₁ 点时速度恰好水平，其大小V=15m/s．若O、O ₁ 相距R=1.5m，小球P在O ₁ 点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10 ^-1  kg的静止绝缘小球N相碰．碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁场．此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5m的圆周运动．小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10m/s ² ．那么，
（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？
（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度．
（3）若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角）．

Answer 1

（1）设弹簧的弹力做功为W，有： mgR+W=(1)/(2) m v 2 -(1)/(2) m

v

20

①
                 代入数据，得：W=-2.05J　　　　　　　　　　　②
   （2）由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，P带正电荷．设P、N碰后的速度大小分别为v ₁ 和V，
        并令水平向右为正方向，有：mv=±mv ₁ +MV③
       而： v 1 =(Bqr)/(m) ④
       若P、N碰后速度同向时，计算可得V＜v ₁ ，这种碰撞不能实现．P、N碰后瞬时必为反向运动．有： V=(mv+Bqr)/(M) ⑤
       P、N速度相同时，N经过的时间为t _N ，P经过的时间为t _P ．设此时N的速度V ₁ 的方向与水平方向的夹角为θ，
             有： cosθ=(V)/(V1) =(V)/(v1) ⑥
                 gt _N =V ₁ sinθ=v ₁ sinθ⑦
              代入数据，得： t N =(3)/(4) s ⑧
      对小球P，其圆周运动的周期为T，有： T=(2πm)/(Bq) ⑨
      经计算得：t _N ＜T，
     P经过t _P 时，对应的圆心角为α，有： t P =(α)/(2π) T ⑩
     当B的方向垂直纸面朝外时，P、N的速度相同，如图可知，有：α ₁ =π+θ
           联立相关方程得： t P 1 =(2π)/(15) s
     比较得，t _N ≠t _P1 ，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同．
     当B的方向垂直纸面朝里时，P、N的速度相同，同样由图，有：a ₂ =π-θ，
      同上得： t P2 =(π)/(15) ，
     比较得，t _N ≠t _p2 ，在此情况下，P、N的速度在同一时刻也不可能相同．
    （3）当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N的速度相同，t _N =t _P =t，
    再联立④⑦⑨⑩解得： r=([(2n+1)π+θ] m2 g)/(B2 q2 sinθ) (n=0，1，2…)
    当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N的速度相同t _N =t _P =t，
    同理得： r=((π-θ) m2 g)/(B2 q2 sinθ) ，
    考虑圆周运动的周期性，有： r=([(2n+1)π+θ] m2 g)/(B2 q2 sinθ) (n=0，1，2…) （给定的B、q、r、m、θ等物理量决定n的取值）．
答：（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为-2.05J；（2）小球P、N碰撞后不能在某一时刻具有相同的速度；（3） r=([(2n+1)π+θ] m2 g)/(B2 q2 sinθ) (n=0，1，2…) （给定的B、q、r、m、θ等物理量决定n的取值）．