考研高数问题。已知梯度的定义为：u对x偏导=P，u对y偏导=Q，u对z偏导=R，（P，Q，R）为函数u在该点的梯度。现在已知u的梯度，求u的函数，为什么是∫Pdx+Qdy+Rdz，而不是∫Pdx或者∫Qdy或者∫Rd

Question

考研高数问题。
已知梯度的定义为：u对x偏导=P，u对y偏导=Q，u对z偏导=R，（P，Q，R）为函数u在该点的梯度。
现在已知u的梯度，求u的函数，为什么是∫Pdx+Qdy+Rdz，而不是∫Pdx或者∫Qdy或者∫Rdz其中一个，他的定义是u对x偏导=P，u对y偏导=Q，u对z偏导=R，相加后积分不就等于算了三遍么？
也就是偏导数的积分等于原函数，P是u对x的偏导，对P积分不就得出u了么？
为什么还要写成∫Pdx+Qdy+Rdz 这样不就等于算了三遍么？

Answer 1

偏导数的积分并不等于原函数，有时候你想不明白可以举一个简单的例子，通过实例理清思路.例如三元函数f（x，y，z）=X^2十Y^2十Z^2，函数对X，y，z的偏导数为分别为2x，2y，2z，那么§2xdx显然不等原函数.2x十2y十2z称为原函数的全微分，不应该简单理解为各偏导数的和.