为什么在算球形电场的电势时,球内电势要算上球内的电场强度和球外的,而球外的电势只要球外的电场强度?

Question

为什么在算球形电场的电势时,球内电势要算上球内的电场强度和球外的,而球外的电势只要球外的电场强度?

Answer 1

不要从答案上理解答案,而应该从电场与电势的关系上理解.
电场强度与电势是等价的,电场强度是电势的负梯度,知道了电场强度就知道电势分布,反之亦然.用公式表示：E=-▽φ；φ=-∫E·dr.
在φ=-∫E·dr中,积分限是零势能点至场点（就是要计算的那个点）,我们把负号去掉,积分限倒一下,那么就是φ=∫E·dr（从场点到零势能点）.在球形电场中,我们一般选取无穷远处为零势能点,也就是说φ=∫E·dr(r→∞),这个就是书上的公式,记住!
球对称的电场中,如果球的半径为R,球内的电场分布是E1,球外的是E2；
则球内电势：φ1=∫E·dr(r→∞)=∫E·dr(r→R)+∫E·dr(R→∞)=∫E1·dr(r→R)+∫E2·dr(R→∞)；
球外电势：φ2=∫E·dr(r→∞)=∫E2·dr(r→∞).
由于是从场点r积分至无穷远,那么r到无穷远的路程中经过几层电场,就要分开积分几层电场,这样就导致了最后的结果是越往球内的电势组成越复杂,越往球外的越简单.
附：计算电场与电势总的来说有三种方法：
1、根据叠加原理,由最简单的点电荷叠加（加法或积分）求得空间的电场；
2、对于具有高度对称性的问题,可作适当曲面,直接由高斯定理计算电场；
3、由高斯定理的微分形式（麦克斯韦方程组中第一个方程）,加上一定的边界条件,求解泊松方程（或者拉普拉斯方程）得到电势.