小王参加2012年度某项劳动技能考试．考试按科目A，B依次进行，只有科目A合格后才能继续参加科目B的考试．每个科目本年度只有一次补考机会，只有两个科目都合格才能获得该项劳动技能

Question

小王参加2012年度某项劳动技能考试．考试按科目A，B依次进行，只有科目A合格后才能继续参加科目B的考试．每个科目本年度只有一次补考机会，只有两个科目都合格才能获得该项劳动技能合格证．已知他每次参加科目A考试合格的概率均为(1)/(2)，每次参加科目B考试合格的概率均为(2)/(3)，且各次考试是否合格互不影响．
（1）求小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率；
（2）记小王参加2012年度该项劳动技能考试的次数为ξ（含可能的补考次数），求随机变量ξ的分布列．

Answer 1

（1）设小王参加科目A考试合格与补考合格分别为事件A₁，A₂，参加科目B考试合格与补考合格分别为事件B₁，B₂．
由已知，P(A1)＝P(A2)＝(1)/(2)，P(B1)＝P(B2)＝(2)/(3)．           …（2分）
又A₁，B₁相互独立，所以P（“小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证”）=P（A₁B₁）=P(A1)P(B1)＝(1)/(2)×(2)/(3)＝(1)/(3)．                            …（5分）
故小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率为(1)/(3)． …（6分）
（2）随机变量ξ的可能取值为2，3，4．                         …（7分）
则P(ξ＝2)＝P(A1B1+

.

A

1

.

A

2)＝P(A1)P(B1)+P(

.

A

1)P(

.

A

2)＝(1)/(2)×(2)/(3)+(1)/(2)×(1)/(2)＝(7)/(12)，…（8分）

P(ξ＝3)＝P(

.

A

1A2B1+A1

.

B

1B2+A1

.

B

1

.

B

2)＝P(

.

A

1)P(A2)P(B1)+P(A1)P(

.

B

1)P(B2)

+P(A1)P(

.

B

1)P(

.

B

2)＝(1)/(2)×(1)/(2)×(2)/(3)+(1)/(2)×(1)/(3)×(2)/(3)+(1)/(2)×(1)/(3)×(1)/(3)＝(1)/(3)…(10分)

P(ξ＝4)＝P(

.

A

1A2

.

B

1)＝P(

.

A

1)P(A2)P(

.

B

1)＝(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(3)＝(1)/(12)…（11分）
所以随机变量ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	(7)/(12)	(1)/(3)	(1)/(12)

…（12分）