如图所示（俯视)，MN和PQ是两根固定在同一水平面上的足够长且电阻不计的平行金属导轨，两导轨间距为L=0。2m其间有一个方向垂直水平面竖直向下的匀强磁场

Question

如图所示（俯视 ) ， MN 和 PQ 是两根 固定在同一水平面上的足够长且电阻不 计的平行金属导轨，两导轨间距为 L=0。2m 其间有一个方向垂直水平面竖直 向下的匀强磁场 B ₁ =5.0T 。导轨上 NQ 之 间接一电阻R ₁ =0.4Ω 阻值为 R ₂ =0.1Ω 的 金属杆垂直导轨放置并与导轨始终保持 良好接触。两导轨右端通过金属导线分别 与电容器的两极相连。电容器 C 极扳紧靠 准直装置 b ， b 紧挨着带小孔 a (只能容一个粒子通过）的固定绝缘弹性圆筒。圆简壁光滑，简内有垂直水平面竖直向下的匀强磁场 B ₂ O 是圆筒的圆心，圆筒的内半径 r=0.4m 。

(1)  用一个方向平行于 MN 水平向左且功率恒定为 P ＝ 80W 的外力 F 拉金属杆，使杆从静 止开始向左运动 . 已知杆受到的摩掠阻力大小恒为 F ₁ ＝6N 求：当金属杆最终匀速运 动时杆的速度大小？

(2)  当金属杆处于( I) 问中的匀速运动状态时，电容器内紧靠极板 D 处的一个带正电的粒 子经电场加速后从 a 孔垂直磁场 B ₂ 并正对着圆心 O 进入圆筒，该带电粒子与圆筒壁碰撞四次后恰好又从小孔 a 射出圆筒。已知该带电粒子每次与筒壁发生碰撞时电量和能量都不损失，不计粒子的初速度、重力和空气阻力，粒子的比荷 =5x10 ⁷ (C/kg ) 求磁感应强度B ₂ 的大小（结果可以用三角函数表示 ）?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

（ 1 ）金属杆先做加速度变小的加速运动，最终以最大速度匀速运动。设杆匀速运动时速度为 ，回路中的感应电流为 I ，杆受到的安培力大小为 F _A ，则

①     

  ②      

  ③

联立①、②、③将已知代入数据解得 ④

（ 2 ）设杆匀速运动时 C 两极板间的电压为 U ，带电粒子进入圆筒的速率为 在磁场中作匀速圆周运动的半径为 R ，由于 C 与电阻 R ₁ 并联，据欧姆定律得     ⑤

据动能定理，有        ⑥

带电粒子在磁场中作匀速圆周运动， ⑦

联立⑤、⑥、⑦得： ⑧

由于带电粒子与圆筒壁碰撞时无电量和能量损失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不变、速度方向总是沿着圆筒半径方向， 4 个碰撞点与小孔 a 恰好将圆筒壁五等分，粒子在圆筒内的轨迹具有对称性，由 5 段相同的圆弧组成，设每段轨迹圆弧对应的圆心角为 ，则由几何关系可得：   ⑨

有两种情形符合题意（如图所示）：

(i) 情形 1 ：每段轨迹圆弧对应的圆心角为 联立⑧、⑨并代入 值得：   ⑩

将数据代入 (9) 式得：  

  (ii) 情形 2 ：每段轨迹圆弧对应的圆心角为    联立⑧、⑨并代入θ值得：

代入数据，可得：

评分标准：本题 19 分。（ 1 ）问 7 分， ①、②、③式各 2 分 ④式 1 分；（ 2 ）问 10 分，⑧式 2 分，⑤、⑥、⑦、⑨、⑩、 、 、 式各 1 分