可导与一致连续设f在[a,+∞)上可导,且f’（x）当x→+∞时极限存在,证明f在[a,+∞)上一致连续

Question

可导与一致连续
设f 在[a,+∞)上可导,且f ’（x）当x→+∞时极限存在,
证明 f 在[a,+∞)上一致连续

Answer 1

f ’（x）当x→+∞时极限存在 ===》 存在 A 和x0>a 使得 当 x > x0 时, |f'(x)-A| < 1. ===> -|A|- 1 < f'(x) < |A| + 1
于是 任给 e>0,
因为f(x) 在闭区间[a, x0 + 1]连续,必然在闭区间[a, x0 + 1]上一致连续,所以存在 d1 > 0 使得 任给 a