设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．

Question

设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断aⁿ+bⁿ与cⁿ的关系，并证明你的结论．

Answer 1

当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a²+b²=c²；
当n≥3，则aⁿ+bⁿ＜cⁿ，
证明如下：
∵sinA=(a)/(c)，cosA=(b)/(c)，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinⁿA＜sin²A，conⁿA＜con²A，
∴sinⁿA+conⁿA＜sin²A+con²A=1，
即((a)/(c)) n+((b)/(c)) n＜1，
∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ．