(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数．(1)试说明函数的图像是由函数的图像经过怎样的变换得到的；(2)(理科)若函数，试

Question

(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数 ．
(1) 试说明函数 的图像是由函数 的图像经过怎样的变换得到的；
(2) (理科)若函数 ，试判断函数 的奇偶性，并用反证法证明函数 的最小正周期是 ；
(3) 求函数 的单调区间和值域．

Answer 1

解(1)∵
，     
∴ ．
∴函数 的图像可由 的图像按如下方式变换得到：
①将函数 的图像向右平移 个单位，得到函数 的图像；
②将函数 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数 的图像；
③将函数 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数 的图像．
(2)(理科)由(1)知， ，
　∴ ．
又对任意 ，有 ，
　∴函数 是偶函数．
　∵ ，
∴ 是周期函数， 是它的一个周期．
现用反证法证明 是函数 的最小正周期。
反证法：假设 不是函数 的最小正周期，设 是 的最小正周期．
则 ，即 ．
令 ，得 ，两边平方后化简，得 ，这与 ( )矛盾．因此，假设不成立．
所以，函数 的最小正周期是 ．
(3)(理科)先求函数 在一个周期 内的单调区间和函数值的取值范围。
当 时， ，且 ．
易知，此时函数 的单调增区间是 ，单调减区间是

作业帮用户 2016-11-23 举报

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