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下列命题正确的是()A.如果函数f(x,y)在(x0,y0)点偏导数存在,则f(x,y)在(x0,y0)点极限存在B.如果函数f(x,y)在(x0,y0)点可微,则f(x,y)在(x0,y0)点连续且偏
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下列命题正确的是( )
A.如果函数f(x,y)在(x0,y0)点偏导数存在,则f(x,y)在(x0,y0)点极限存在
B.如果函数f(x,y)在(x0,y0)点可微,则f(x,y)在(x0,y0)点连续且偏导数存在
C.如果函数f(x,y)在(x0,y0)点可微,则f(x,y)在(x0,y0)点偏导数连续
D.如果函数f(x,y)在(x0,y0)点处沿任何方向的方向导数都存在,则f(x,y)在(x0,y0)点偏导数存在
A.如果函数f(x,y)在(x0,y0)点偏导数存在,则f(x,y)在(x0,y0)点极限存在
B.如果函数f(x,y)在(x0,y0)点可微,则f(x,y)在(x0,y0)点连续且偏导数存在
C.如果函数f(x,y)在(x0,y0)点可微,则f(x,y)在(x0,y0)点偏导数连续
D.如果函数f(x,y)在(x0,y0)点处沿任何方向的方向导数都存在,则f(x,y)在(x0,y0)点偏导数存在
▼优质解答
答案和解析
①选项A.如:f(x,y)=
,容易求得fx(0,0)=fy(0,0)=0,但是
f(x,y)不存在,因为沿着y=kx趋于(0,0)时,极限值与k有关
故A错误.
②选项B.由于f(x,y)在(x0,y0)点可微,即△f=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ)
因此
f(x0+△x,y0+△y)=
[f(x0,y0)+△f]=f(x0,y0),即连续
在△f=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ)中,令△y=0
则有f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)=A△x+o(|△x|),两端处于△x,并令△x→0,得
=fx(x0,y0),同理fy(x0,y0)也存在.
故B正确.
③选项C.偏导数存在且连续⇒可微分,但反之不成立.
故C错误.
④选项D.只要函数f(x,y)在(x0,y0)点处只要沿X轴和Y轴的正负两个方向的方向导数都存在,则函数f(x,y)在(x0,y0)点处的两个偏导数存在.
选项D的条件太过于强大,不能说是因果关系.
故D错误
故选:B.
|
lim |
(x,y)→(0,0) |
故A错误.
②选项B.由于f(x,y)在(x0,y0)点可微,即△f=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ)
因此
lim |
(x,y)→(x0,y0) |
lim |
ρ→0 |
在△f=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ)中,令△y=0
则有f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)=A△x+o(|△x|),两端处于△x,并令△x→0,得
lim |
△x→0 |
f(x0+△x,y0)−f(x0,y0) |
△x |
故B正确.
③选项C.偏导数存在且连续⇒可微分,但反之不成立.
故C错误.
④选项D.只要函数f(x,y)在(x0,y0)点处只要沿X轴和Y轴的正负两个方向的方向导数都存在,则函数f(x,y)在(x0,y0)点处的两个偏导数存在.
选项D的条件太过于强大,不能说是因果关系.
故D错误
故选:B.
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