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设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有意义.对于给定的正数k,已知函数fk(x)=f(x),f(x)≤kk,f(x)>k,取函f(x)=3-x-e-x.若对任意的x∈(-∞,+∞),恒有fk(x)=f(x),则k的取值范围为

题目详情
设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有意义.对于给定的正数k,已知函数fk(x)=
f(x),f(x)≤k
k,f(x)>k
,取函f(x)=3-x-e-x.若对任意的x∈(-∞,+∞),恒有fk(x)=f(x),则k的取值范围为______.
▼优质解答
答案和解析
对任意的x∈(-∞,+∞),恒有fk(x)=f(x),等价于对任意的x∈(-∞,+∞),恒有f(x)=3-x-e-x≤k,
由f'(x)=-1+e-x,知当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;则f(x)max=f(0)=2;
故k≥2.
故答案为:k≥2.