设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k，已知函数fk(x)=f(x)，f(x)≤kk，f(x)＞k，取函数f（x）=3-x-e-x．若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有

Question

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k，已知函数 f k (x)=

f(x)，f(x)≤k

k，f(x)＞k

，取函数f（x）=3-x-e ^-x ．若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f ₁ （x）=f（x），则k的最小值为______．

Answer 1

由题意可得出k≥f（x） _最大值 ，
由于f′（x）=-1+e ^-x ，令f′（x）=0，e ^-x =1=e ⁰ 解出-x=0，即x=0，
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=3-1=2．
故当k≥1时，恒有f _k （x）=f（x）．
因此K的最小值是2．
故答案为：2．