在二项式定理C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn=（1+x）n（n∈N*）的两边求导后，再取x=1得到一个恒等式，这个恒等式是C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n2n-1C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n2n-1．

Question

在二项式定理C

0

n

+C

1

n

x+C

2

n

x²+…+C

n

n

xⁿ=（1+x）ⁿ（n∈N^*）的两边求导后，再取x=1得到一个恒等式，这个恒等式是

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n2^n-1

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n2^n-1

．

Answer 1

二项式定理C

0

n

+C

1

n

x+C

2

n

x²+…+C

n

n

xⁿ=（1+x）ⁿ（n∈N^*）的两边求导后，
可得

C

1 n

+2x

C

2 n

+3x²

C

3 n

+…+nx^n-1 

C

n n

=n•（1+x）^n-1，再取x=1得到一个恒等式，
可得

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n2^n-1，
故答案为：

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n2^n-1．