我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n可得，左边xn的系数为C．

Question

我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ可得，左边xⁿ的系数为

C

______． 作业帮用户2017-10-03 举报 用这款APP，检查作业高效又准确！ 扫二维码下载作业帮 4亿+用户的选择 优质解答 根据题意，构造等式（x-1）2n•（x+1）2n=（x2-1）2n， 由等式的左边可得x2n的系数为C2n2n•（-1）2nC2n0+C2n2n-1•（-1）2n-1C2n1+C2n2n-2•（-1）2n-2C2n2+…+C2n0•（-1）0C2n2n， 即（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2， 由右等式的右端可得 x2n的系数为（-1）nC2nn， 故有（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn， 故答案为（-1）nC2nn． 作业帮用户 2017-10-03 举报 问题解析 根据题意，构造等式（x-1）2n•（x+1）2n=（x2-1）2n，分别从等式的左边和等式的右边求得x2n的系数，令其相等，即可求得原式的值． 名师点评 本题考点： 二项式定理的应用． 考点点评： 本题考查组合数公式的应用，涉及二项式定理的应用，关键要根据题意，充分利用组合数的性质，属于中档题． 扫描下载二维码 ©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议

Answer 1

根据题意，构造等式（x-1）²ⁿ•（x+1）²ⁿ=（x²-1）²ⁿ，
由等式的左边可得x²ⁿ的系数为C_2n²ⁿ•（-1）²ⁿC_2n⁰+C_2n^2n-1•（-1）^2n-1C_2n¹+C_2n^2n-2•（-1）^2n-2C_2n²+…+C_2n⁰•（-1）⁰C_2n²ⁿ，
即（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²，
由右等式的右端可得 x²ⁿ的系数为（-1）ⁿC_2nⁿ，
故有（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ，
故答案为（-1）ⁿC_2nⁿ．