设f（x）在（0，+∞）内一阶连续可微，且对∀x∈（0，+∞）满足x∫10f（xt）dt=2∫x0f（t）dt+xf（x）+x3，又f（1）=0，求f（x）．

Question

设f（x）在（0，+∞）内一阶连续可微，且对∀x∈（0，+∞）满足x

∫

1 0

f（xt）dt=2

∫

x 0

f（t）dt+xf（x）+x³，又f（1）=0，求f（x）．

Answer 1

令u=xt，则原方程变为

∫

x 0

f(u)du＝2

∫

x 0

f(t)dt+xf(x)+x3，
两边对x求导得
f（x）=2f（x）+f（x）+xf'（x）+3x²，
整理得f′(x)+(2)/(x)f(x)＝−3x．
这是一阶非齐次线性微分方程，其中P(x)＝(2)/(x)，Q（x）=3x
由f（x）=e^{-∫P（x）dx}（∫Q（x）e^{∫P（x）dx}dx+C）
求得微分方程的通解为f(x)＝(C)/(x2)−(3)/(4)x2．
由f（1）=0，得C＝(3)/(4)，
所以f(x)＝(3)/(4x2)−(3)/(4)x2．