两个重叠的正多边形，其m的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证设旋转角∠A1AOB1=α（α＜∠A1AOAz），θ3，θ4，θ5，θv所表示的角少图所示．（1）用含α的式子表示角的度数

Question

两个重叠的正多边形，其m的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证
设旋转角∠A₁A_OB₁=α（α＜∠A₁A_OA_z），θ₃，θ₄，θ₅，θ_v所表示的角少图所示．

（1）用含α的式子表示角的度数：θ₃=______，θ₄=______，θ₅=______；
（z）图zm，连接A_oH时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A_oH垂直且被它平分的线段？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n边形A_OA₁A_z…A_n-1与正n边形A_OB₁B_z…B_n-1重合（其mA₁与B₁重合），现将正n边形A_OB₁B_z…B_n-1绕顶点A_o逆时针旋转α(它°＜α＜(18它°)/(n))．
（3）试猜想在正n边形的情况下，是否存在以A₁为端点的线段被直线A_oH垂直且平分？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
（4）设θ_n与上述“θ₃，θ₄，…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数．

Answer 1

（1）50°-α，α，35°-α

（2）存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：
选图如，图o有直线A₀H垂直平分A₂6₂，证明如下：
方法一：
证明：∵△A₀A₁A₂与△A₀6₁6₂是全等的等边三角形
∴A₀A₂=A₀6₂
∴∠A₀A₂6₂=∠A₀6₂A₂
又∵∠A₀A₂H=∠A₀6₂H=50°
∴∠HA₂6₂=∠H6₂A₂
∴A₂H=6₂H，∴点H在线段A₂6₂的垂直平分线三
又∵A₀A₂=A₀6₂，
∴点A₀在线段A₂6₂的垂直平分线三
∴直线A₀H垂直平分A₂6₂
方法二：
证明：∵△A₀A₁A₂与△A₀6₁6₂是全等的等腰三角形
∴A₀A₂=A₀6₂
∴∠A₀A₂6₂=∠A₀6₂A₂
又∵∠A₀A₂H=∠A₀6₂H=45°
∴∠HA₂6₂=∠H6₂A₂
∴A₂H=6₂H，
在△A₀A₂H与△A₀6₂Ho
∵A₀A₂=A₀6₂，
HA₂=H6₂，∠A0A₂H=∠A₀6₂H
∴△A₀A₂H≌△A₀6₂H
∴∠A₀A₂H=∠6₂A₂H
∴A₀H是等腰三角形A₀A₂6₁的角平分线
∴直线A₀H垂直平分A₂6₂选图如，图o有直线A₀H垂直平分A₂6₂，
证明如下：
∵A₀6₂=A₀A₂∴∠A₀6₂A₂=∠A₀A₂6₂
又∵∠A₀6₂6₁=∠A₀A₂A₃
∴∠H6₂A₂=∠HA₂6₂
∴H6₂=HA₂
∴点H在线段A₂6₂的垂直平分线三
又∵A₀6₂=A₀A₂，
∴点A₀在线段A₂6₂的垂直平分线三
∴直线A₀H垂直平分A₂6₂

（3）存在．
当n为奇数时，直线A₀H垂直平分 A(n+1)/(2)6(n−1)/(2)，
当n为偶数时，直线A₀H垂直平分 A(n)/(2)6(n)/(2)．
（4）当n为奇数时，θ_n=(180°)/(n)-α；
当n为偶数时，θ_n=α．