课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下

Question

课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．
若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米 ² ，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．
若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小；
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．

Answer 1

（1）①y= (x(120-x))/(2) ，
当x=60时，y _最大值 =1800；
②过点B作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
设AB=CD=xcm，梯形的面积为Scm ² ，则BC=EF=（120-2x）cm，
AE=DF= (1)/(2) x，BE=CF= (3)/(2) x，AD=120-x，
∴S= (1)/(2) • (3)/(2) x（240-3x）
当x=40，S _最大值 =1200

3

，
S _最大值 ＞y _最大值 ；


（2）方案：①正八边形一半，②正十边形一半，③半圆等．