已知：抛物线C:y2＝2px(p＞0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5,1,求抛物线C的方程2,设直线l与抛物线C交于不同两点A,B,若满足OA⊥OB,证明直线l恒过定点,并求出定点P的坐标.3,试吧问题2的结论推

Question

已知：抛物线C:y2＝2px(p＞0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5,1,求抛物线C的方程 2,设直线l与抛物线C交于不同两点A,B,若满足OA⊥OB,证明直线l恒过定点,并求出定点P的坐标.3,试吧问题2的结论推广到任意抛物线C:y2＝2px(p＞0)中,请写出结论,不用证明.

Answer 1

已知：抛物线C:y2＝2px(p＞0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5, 1,求抛物线C的方程 2,设直线l与抛物线C交于不同两点A,B,若满足OA⊥OB,证明直线l恒过定点,并求出定点P的坐标. 3,试吧问题2的结论推广到任意抛物线C:y2＝2px(p＞0)中,请写出结论,不用证明.
解1：设抛物线C:y²＝2px(p＞0)上横坐标为4的点M(4,y),F(P/2,0).|MF|=√(4-P/2)²-(y-0)²=5①,∵y²＝2px②∴y²＝2px=2p*4=8p③.将③式代入①得：p1=2,p2=-18(舍).将p1=2代入y²＝2px(p＞0)得抛物线C:y²＝4x.
解2：直线L交抛物线C与A点和B点,满足OA⊥OB,则△OAB为直角⊿
|AB|=√(|OA|²+|OB|²).设A(x1,y1),O(0,0),B(x2,y2).∵A、B点均在抛物线C上,故y1=±2√x1,y2=±2√x2.|OA|=√(x1-0)²+(2√x1-0)²=√(x1²+4x1),|OB|=√(x2-0)²+(2√x2-0)²=√(x2²+4x2).|AB|=√(|OA|²+|OB|²)=√((x1²+4x1+x2²+4x2)=√(x1²+x2²+4x1+4x2)=√(x1²+y1²+x2²+y2²).