已知数列a，b，c为各项都是正数的等差数列，公差为d（d＞0），在a，b之间和b，c之间共插入m个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列{an}是等比数列，其公比为q．（1）若a=1，m=1，求公差d；

Question

已知数列a，b，c为各项都是正数的等差数列，公差为d（d＞0），在a，b之间和b，c之间共插入m个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列{a_n}是等比数列，其公比为q．
（1）若a=1，m=1，求公差d；
（2）若在a，b之间和b，c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m个数的乘积（用a，c，m表示），求证：q是无理数．

Answer 1

（1）由a=1，且等差数列a，b，c的公差为d，可知 b=1+d，c=1=2d，
若插入的一个数在 a，b之间，则 1+d=q²，1+2d=q³，
消去q可得 （1+2d）²=（1+d）³，其正根为 d=(1+√(5))/(2)．
若插入的一个数在b，c之间，则 1+d=q，1+2d=q³，
消去q可得 1+2d=（1+d）³，此方程无正根．故所求公差 d=(1+√(5))/(2)．…（4分）
（2）设在 a，b之间插入l个数，在 b，c之间插入t个数，则l+t=m，在等比数列{a_n} 中，
∵a₁=a，a_l+2=b=(a+c)/(2)，a_m+3=c，a_k•a_m+4-k=a₁•a_m+3…，
∴（a₂•a₃…a_m+2）²=（a₂•a_m+2 ）•（ a₃•a_m+1）…（a_m+1•a₃ ）（a_m+2•a₂）=（ac）^m+1，
 又∵q^l+1=(b)/(a)＞0，q^t+1=(c)/(b)＞0，l，t 都为奇数，∴q 可以为正数，也可以为负数．
①若q为正数，则 a₂•a₃…a_m+2=(ac)(m+1)/(2)，所插入 m 个数的积为
(a2 •a3…am+2)/(b)=(2)/(a+c)•(ac)(m+1)/(2)；
②若q 为负数，a₂，a₃，…，a_m+2 中共有 (m)/(2)+ 1 个负数，
当 (m)/(2) 是奇数，即 m=4k-2，k∈N₊ 时，所插入m个数的积为 (a2•a3…am+2)/(b)=(2)/(a+c) (ac)(m+1)/(2)；
当(m)/(2)是偶数，即m=4k，k∈N₊时，所插入m个数的积为