初一数学题14．现将连续自然数1到2004按图中的方式排成一个长方形阵列,用一个正方形框出16个数.（1）图中这16个数的和是（2）在图中要使一个正方形框出的16个数之和分别

Question

初一数学题
14．现将连续自然数1到2004按图中的方式排成一个长方形阵列,用一个正方形框出16个数.（1）图中这16个数的和是
（2）在图中要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000,2004是否可能?若不可能,试说明理由,若有可能,请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数.
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41 42
…………………………………………………………………
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
2003 2004
框出的16个数是10 11 12 13
17 18 19 20
25 26 27 28
31 32 33 34

Answer 1

1.框出的16个数的和为10+11+12+...+34
=(10+34)+(11+33)+...+(10+31)+(17+28)+(18+27)+...+(20+25)
=44X4+45X4=356
2.因为此排列方式为7个数一行,故第二行后每一行的数比同列的上一行的数多7,如8和15,9和16.而用正方形框出的16个数,必包含四行四列,如
8 9 10 11
15 16 17 18
22 23 24 25
29 30 31 32
而每一行后面一个数比前面一个数大1,故此方阵的和相当于
(8+15+22+29)X4+(9-8)X4+(10-8)X4+(11-8)X4
令第一列数首项为a1,则公差d=7,项数n=4
由等差数列前N项和公式,该正方形框的和为4X[a1Xn+n(n-1)d/2]+4+8+12
=4X(4a1+42)+4+8+12=16a1+192
令16a1+192=2000,a1=113
令16a1+192=2004,a1=113.25非正整数,不符
故a1=113,此为最小数,最大数为113+3X7+3=137,此方阵为
113 114 115 116
120 121 122 123
127 128 129 130
134 135 136 137
另补:楼主第一题框出的16个数似乎有错,按题中排法,这16个数应该是
10 11 12 13
17 18 19 20
24 25 26 27
31 32 33 34
和应为352