求定积分（积分-2到2）（X+根号里面（4-X的平方））的平方的DX

Question

求定积分
（积分-2到2）（X+根号里面（4-X的平方））的平方的DX

Answer 1

由于积分区间为原点对称区间,根据积分函数的性质此题有简便方法求解.
首先要知晓这样一个性质：对于对称区间积分,当被积函数为奇函数,积分值为0；
本题中,被积函数：（X+根号里面（4-X的平方））的平方
化简：x^2+4-x^2+2x*√(4-x^2) = 4+ 2x*√(4-x^2)
由函数性质可知：2x*√(4-x^2) 为奇函数,因此其在(-2,2)积分为0
故题目所求：原式 = ∫(-2,2) 4 dx = 4*[2-(-2)] =16
通过利用积分函数性质求解,避免了一步一步去算,取到了事半功倍的效果,这种方法在做选择题中尤其省力.