极限题,设k是正整数,且当n趋向无穷大时,极限limn^2007/[n^k-(n-1)^k]存在,其极限值是非零常数,求k.提示把（n-1）^k展开成多项式我已经有答案了,可是我不知道（n-1）^k展开成多项式是怎么弄?

Question

极限题,
设k是正整数,且当n趋向无穷大时,极限lim n^2007/[n^k-(n-1)^k]存在,其极限值是非零常数,求k.
提示把（n-1）^k展开成多项式
我已经有答案了,可是我不知道（n-1）^k展开成多项式是怎么弄?

Answer 1

用二项式定理：
(n-1)^k=n^k+C(k,1)n^(k-1)*(-1)+C(k,2)n^(k-2)*(-1)^2+...+C(k,k-1)n*(-1)^(k-1)+(-1)^k
其中,C(k,2)n^(k-2)*(-1)^2+...+C(k,k-1)n*(-1)^(k-1)+(-1)^k可以写成o(n^(k-1))