在一个正方形中有6个点,加上正方形的4个顶点共有10个点,现在将长方形分割成以这10个点为顶点的三角形,能分几个?如果一个n边形中有m个点,仍然按照以上要求分割,能分多少个?（字母表示）

Question

在一个正方形中有6个点,加上正方形的4个顶点共有10个点,现在将长方形分割成以这10个点为顶点的三角形,能分几个?如果一个n边形中有m个点,仍然按照以上要求分割,能分多少个?（字母表示）

Answer 1

能分成（6+4）+（6-2）=14个三角形.
如果一个n边形中有m个点,仍然按照以上要求分割,能分成(m+n)+(m-2)=2m+n-2个.
这样考虑就好理解了：
不妨认为n边形为凸多边形,其中的m个点也按凸多边形分布,这样比较好理解些.
m个凸多边形点任意相邻的两个点与相近的n边形的一个顶点构成m个三角形；
n边形的n个边与相近的一个凸多边形点构成n个三角形；
m个凸多边形内部,可以分成m-2个三角形.
故一共能分成(m+n)+(m-2)=2m+n-2个三角形.