如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于O点,点P为形外一点且AP⊥PC,连BP,DP,求证BP⊥DP

Question

如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于O点,点P为形外一点且AP⊥PC,连BP,DP,求证BP⊥DP

Answer 1

连接OP
∵矩形ABCD ∴O为AC、BD的中点,且AC=BD
又∵AP⊥PC即∠APC=90º ∴OP=½AC ﹙直角三角形,斜边上的中线等于斜边的一半﹚
∴OP=½BD 又∵O是BD的中点
∴∠BPD=90º﹙⊿一边上 的中线等于这边的一半,你那么这个三角形是直角三角形﹚
∴BP⊥DP
【如果没学这个定理】可以如下证明：
连接OP
∵矩形ABCD ∴O为AC、BD的中点,且AC=BD ﹙即OA=OB=OC=OD=½AC=½BD﹚
又∵AP⊥PC即∠APC=90º ∴OP=½AC ﹙直角三角形,斜边上的中线等于斜边的一半﹚
∴OP=OD=OB ∴∠ODP=∠OPD,∠OBP=∠OPB
∵⊿BDP中∠ODP＋∠OBP＋∠DBP=180º 即∠ODP＋∠OPD＋∠OPB＋∠OBP=180º
∴2﹙∠OPD＋∠OPB﹚=180º ∴∠OPD＋∠OPB=90º即∠DBP=90º
∴BP⊥DP