如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求三棱锥H-BDF的体积．

Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求三棱锥H-BDF的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，
所以 ED⊥平面ABCD，…（3分）
又因为AC⊂平面ABCD，
所以ED⊥AC．
因为ED∩BD=D，所以AC⊥平面BDEF．…（5分）
（Ⅱ）取BC得中点P，连接DP．
因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
所以△DBC为等边三角形，所以DP⊥BC，
且DP＝(√(3))/(2)BC＝√(3)．…（7分）
又由（1）知FB⊥平面ABCD且DP⊂平面ABCD，
所以DP⊥FB，又FB∩BC=B，
所以DP⊥平面FBC，S△BFH＝(1)/(2)S△BFC＝(1)/(2)×(1)/(2)×BC×BF＝(3)/(2)，…（10分）
所以VH−BDF＝VD−BFH＝(1)/(3)×S△BFH×DP＝(1)/(3)×(3)/(2)×√(3)＝(√(3))/(2)．…（12分）