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如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,H是CF的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDEF;(Ⅱ)求三棱锥H-BDF的体积.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/562c11dfa9ec8a134d329b51f403918fa0ecc053.jpg)
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)求三棱锥H-BDF的体积.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD.
因为平面BDEF⊥平面ABCD,且四边形BDEF是矩形,
所以 ED⊥平面ABCD,…(3分)
又因为AC⊂平面ABCD,
所以ED⊥AC.
因为ED∩BD=D,所以AC⊥平面BDEF.…(5分)
(Ⅱ)取BC得中点P,连接DP.
因为四边形ABCD是菱形,且∠BAD=60°,
所以△DBC为等边三角形,所以DP⊥BC,
且DP=
BC=
.…(7分)
又由(1)知FB⊥平面ABCD且DP⊂平面ABCD,
所以DP⊥FB,又FB∩BC=B,
所以DP⊥平面FBC,S△BFH=
S△BFC=
×
×BC×BF=
,…(10分)
所以VH−BDF=VD−BFH=
×S△BFH×DP=
×
×
=
.…(12分)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/908fa0ec08fa513d1382a06f3e6d55fbb2fbd953.jpg)
所以AC⊥BD.
因为平面BDEF⊥平面ABCD,且四边形BDEF是矩形,
所以 ED⊥平面ABCD,…(3分)
又因为AC⊂平面ABCD,
所以ED⊥AC.
因为ED∩BD=D,所以AC⊥平面BDEF.…(5分)
(Ⅱ)取BC得中点P,连接DP.
因为四边形ABCD是菱形,且∠BAD=60°,
所以△DBC为等边三角形,所以DP⊥BC,
且DP=
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又由(1)知FB⊥平面ABCD且DP⊂平面ABCD,
所以DP⊥FB,又FB∩BC=B,
所以DP⊥平面FBC,S△BFH=
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所以VH−BDF=VD−BFH=
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