扇形AOB的中心角为2θ，θ∈（0，π2），半径为r，在扇形AOB中作内切圆O1与圆O1外切，与OA，OB相切的圆O2，问sinθ为何值时，圆O2的面积最大？最大值是多少？

Question

扇形AOB的中心角为2θ，θ∈（0，(π)/(2)），半径为r，在扇形AOB中作内切圆O₁与圆O₁外切，与OA，OB相切的圆O₂，问sinθ为何值时，圆O₂的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

设圆O₁及与圆O₂的半径分别为r₁，r₂，
则

(r-r1)sinθ=r1

(r1+r2)cos((π)/(2)-θ)=r1-r2

，得：

r1=(rsinθ)/(1+sinθ)

r2=(r1(1-sinθ))/(1+sinθ)

∴r2=(rsinθ(1-sinθ))/((1+sinθ)2)，
∵0<2θ<2π，
∴0<θ<π，
令t=1+sinθ，（1<t<2）．
那么：r2=(-t2+3t-2)/(t2)=-2((1)/(t)-(3)/(4))2+(1)/(8)，
当(1)/(t)=(4)/(3)，即sinθ=(1)/(3)时，圆O₂的半径最大，圆O₂的面积最大，
最大值是(r2π)/(64)．