如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是(0，0)，B点坐标是(3，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是(2，4)．(1)求G点坐标；

Question

如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是(0，0)，B点坐标是(3，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是(2，4)．

(1)求G点坐标；
(2)求直线EF解析式；
(3)点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.____

Answer 1

【分析】(1)根据折叠性质可知FG=AF=2，而BF=AB-AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长 ，从而得到CG的长，则G点坐标可求.
\n(2)由题意，先求出∠AFE=60°，再由三角函数关系求出AE的长，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，可利用待定系数法求出直线EF的解析式；
\n(3)分FG为平行四边形的一边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状.

(1)由已知得，FG=AF=2，FB=AB-AF=1，BC=4.
\n∵四边形ABCD为矩形，
\n∴∠B=90°，
\n∴，
\n∴CG=BC-BG=，
\n∴G点的坐标为(3，)；
\n(2)在Rt△BFG中，，
\n∴∠BFG=60°，
\n∴∠AFE=∠EFG=60°.
\n在Rt△AEF中，AE=AFtan∠ AFE=2tan60°=，
\n∴OE=AO-AE=，
\n∴E点的坐标为(0，.
\n又F点的坐标是(2，4)，
\n设直线EF的解析式是y=kx+b，将E、F点的坐标代入，得
，
\n解得.
\n∴直线EF的解析式为；
\n(3)分FG为平行四边形的边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状：
\n若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：
\n①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示.
\n过点作⊥x轴于点H，易证△≌△GBF，

\n∴，即.
\n由直线EF解析式，求出.
\n∴.
\n②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示.

\n仿照与①相同的办法，可求得.
\n③FG为平行四边形的对角线，如图3所示.

\n过作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△≌△，
\n则有=GC=，所以的纵坐标为8-.
\n代入直线EF解析式，得到的横坐标为.
\n∴.
\n综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为：、或.

【点评】(1)求点的坐标，可分别求出该点的横坐标和纵坐标；(2)求直线的函数解析式，可先得出该直线上任意两点的坐标再用待定系数法求解；(3)以四点为顶点的平行四边形可有多种不同的组合，注意分类讨论，不要漏解.