如图，一个等腰直角三角形的硬纸片△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，CD是斜边上的高，沿CD把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能够量长度的直尺，应该如何确定A、B的位置，使得二面

Question

如图，一个等腰直角三角形的硬纸片△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，CD是斜边上的高，沿CD把△ABC折成直二面角．
（1）如果你手中只有一把能够量长度的直尺，应该如何确定A、B的位置，使得二面角A-CD-B是直二面角？证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一点P，使DP与平面ABC内任意一条直线垂直，证明你的结论．
（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出球的半径的最大值．

Answer 1

（1）用直尺度量折后的AB长，若AB=4cm，则二面角A-CD-B是直二面角
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=DB=2√(2)
又∵AD⊥DC，BD⊥DC，
∴∠ADB为二面角A-CD-B的平面角
在等腰直角三角形ADB中，AB=√(2)AD=4．（4分）
（2）由（1）知△ABC此时为正三角形，
取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件．
∵△ABC此时为正三角形，且AD=DB=DC
∵三棱锥D-ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心知DP⊥面ABC
∴DP与平面ABC内任意一条直线垂直（8分）
（3）当小球半径最大时，此时小球与三棱锥的四个面都相切，设该小球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD三棱锥被分成了四个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r故有V_A-BCD=V_O-BCD+V_O-ADC+V_O-ABD+V_O-ABC，所以(1)/(3)S_△ADB×CD=(1)/(3)（S_△BCD+S_△ADC+S_△ABD+S_△ABC）×r，而易得S_△BCD=S_△ADC=S_△ABD=4，S_△ABC=4√(3)
代入得小球的半径最大值为r=(3√(2)−√(6))/(3)（14分）