已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=12AB=1．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角的余弦值；（Ⅲ）求线BP与面PAC所成角的余弦值．

Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=(1)/(2)AB=1．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求线BP与面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

如右图所示，以点A为坐标原点，射线AD为x轴正半轴，射线AB为y轴正半轴，射线AP为z轴正半轴建立空间直角坐标系．
由题中条件得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），

AP

＝(0，0，1)，

AB

＝(0，2，0)，

DC

＝(0，1，0)，

DP

＝(−1，0，1)，

AC

＝(1，1，0)，

BP

＝(0，−2，1)．
（Ⅰ）证明：设向量

n1

=（x₁，y₁，z₁）是平面PDC的法向量，
则由

DC

•

n1

＝0

DP

•

n1

＝0

，得

(0，1，0)•(x1，y1，z1)＝0

(−1，0，1)•(x1，y1，z1)＝0

，即

y1＝0

−x1+z1＝0

，
取x₁=1，得

n1

＝(1，0，1)，显然向量

AB

是平面PAD的一个法向量，
由

n1

•

AB

＝0，知

n1

⊥

AB

，从而平面PAD⊥平面PCD，得证．
（Ⅱ）则cos＜

AC

，

BP

＞=(AC•BP)/(|AC||BP|)＝(−2)/(√(2)√(5))＝−(√(10))/(5)，又异面直线AC与PB所成角的范围是（0，(π)/(2)]，
所以直线AC与PB所成角的余弦值为(√(10))/(5)．
（Ⅲ）设向量

n2

＝(x2，y2，z2)是平面PAC的法向量，则

n2

•

AP

＝0

n2

•

AC

＝0

，
即

(x2，y2，z2)•(0，0，1)＝0

(x2，y2，z2)•(1，1，0)＝0

，得

z2＝0

x2+y2＝0

，
取x₂=1，则

n2

＝(1，−1，0)，从而cos＜

n2

，

BP

＞=(n2•BP)/(|n2||BP|)=(2)/(√(2)×√(5))＝(√(2))/(√(5))．
设直线BP与平面PAC所成角为θ，则sinθ=(√(2))/(√(5))，从而cosθ=(√(3))/(√(5))=(√(15))/(5)，即直线BP与平面PAC所成角的余弦值为(√(15))/(5)．