如图所示，倾角为θ的斜面上PP′、QQ′之间粗糙，且长为3L，其余部分都光滑．形状相同、质量分布均匀的三块薄木板A、B、C沿斜面排列在一起，但不粘接．每块薄木板长均为L，质量均为m，

Question

如图所示，倾角为θ的斜面上PP′、QQ′之间粗糙，且长为3L，其余部分都光滑．形状相同、质量分布均匀的三块薄木板A、B、C沿斜面排列在一起，但不粘接．每块薄木板长均为L，质量均为m，与斜面PP′、QQ′间的动摩擦因素均为2tanθ．将它们从PP′上方某处由静止释放，三块薄木板均能通过QQ′．重力加速度为g．求：

（1）薄木板A在PP′、QQ′间运动速度最大时的位置；
（2）薄木板A上端到达PP′时受到木板B弹力的大小；
（3）释放木板时，薄木板A下端离PP′距离满足的条件．

Answer 1

（1）薄木板A在PP′、QQ′间运动时，将三块薄木板看成整体，当它们下滑到下滑力等于摩擦力时运动速度达最大值，则有：
μm_xgcosθ=3mgsinθ
得到：mx=(3)/(2)m
即滑块A的下端离P处1.5L处时的速度最大       
（2）对三个薄木板整体用牛顿第二定律有：
3mgsinθ-μmgcosθ=3ma
得到：a=(1)/(3)gsinθ
对A薄木板用牛顿第二定律有：F+mgsinθ-μmgcosθ=ma
则得：F=(4)/(3)mgsinθ
（3）要使三个薄木板都能滑出QQ′处，薄木板C中点过QQ′处时它的速度应大于零．
薄木板C全部越过PP′前，三木板是相互挤压着，全部在PP′、QQ′之间运动无相互作用力，离开QQ′时，三木板是相互分离的．             
设C木板刚好全部越过PP′时速度为v．
①对木板C用动能定理有：mgsinθ×(5)/(2)L-(μmgcosθ×2L+(3)/(4)μmgcosθ×(1)/(2)L)=0-(1)/(2)mυ2，υ=√(4.5gLsinθ)
②设开始下滑时，A的下端离PP′处距离为x，对三木板整体用动能定理有：3mgsinθ×(3L+x)-μ(3)/(2)mgcosθ×3L=(3)/(2)mυ2-0
得到：x=2.25L                                    
即释放时，A下端离PP′距离为：x>2.25L
答：（1）薄木板A在PP′、QQ′间运动滑块A的下端离P处1.5L处时的速度最大；
（2）薄木板A上端到达PP′时受到木板B弹力的大小是(4)/(3)mgsinθ；
（3）释放木板时，薄木板A下端离PP′距离满足的条件是：释放时，A下端离PP′距离x>2.25L．