一元三次方程的求根公式?

Question

一元三次方程的求根公式?

Answer 1

定义
　　在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程.
　　一元三次方程是型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型
　　其解法如下
　　将上面的方程化为x^3+bx^2+cx+d=0,
　　设x=y-b/3,则方程又变为y^3+(c-b^2/3)y+(2b^3/27-bc/3+d)=0
　　设p=c-b^2/3,q=2b^3/27-bc/3+d,方程为y^3+py+q=0
　　再设 y=u+v
　　{
　　p=—3uv
　　则（u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0 => u^3+v^3+q=0
　　所以q+u^3-(p/(3u))^3=0,即（u^3)^2+qu^3-(p/3)^3=0
　　设u^3=t,则t^2+qt-(p/3)^3=0
　　解得t=(-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2
　　所以u=((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3),
　　所以v=—p/(3u)=(-p/3)/((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)
　　所以y1=u+v
　　=((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)+(-p/3)/((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)
　　这是一个根,现求另两根：
　　将y1代入方程得
　　y^3+py+q=(y-y1)*f(x)
　　f(x)用待定系数法求,即设
　　y^3+py+q
　　=(y-y1)（y^2+k1y+k2)
　　=y^3+(k1-y1)y^2+(k2-k1y1)y-k2y1
　　所以k1=y1,k2=p+k1^2
　　f(x)=y^2+y1*y+p+y1^2
　　然后用求根公式解出另两根y2,y3.