在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子，沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子．在y轴方向探测到一个散射光子．已知电子的静止质量为m0，光速为c，入射光子的能量

Question

在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子，沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子．在y轴方向探测到一个散射光子．已知电子的静止质量为m₀，光速为c，入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的1/10．
（1）试求电子运动速度的大小v，电子运动的方向与x轴的夹角θ；电子运动到离原点距离为L₀（作为已知量）的A点所经历的时间△t．
（2）在电子以1中的速度v开始运动时，一观察者S′相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动（即S′相对于电子静止），试求S′测出的OA的长度．

Answer 1

（1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为
 (m0c2)/(√(1-(v2)/(c2)))=1.10m0c2                         （1）
由此可解得
v=(√(0.21))/(1.10)=0.417c≈0.42c                            （2）
入射光子和散射光子的动量分别为p=(hv)/(c)和p′=(hv′)/(c)，方向如图所示．电子的动量为mv，m为运动电子的相对论质量．由动量守恒定律可得
    
(m0v)/(√(1-(v2)/(c2)))cosθ=(hv)/(c)                   （3）
(m0v)/(√(1-(v2)/(c2)))sinθ=(hv′)/(c)                   （4）
已知hv-hv′=0.10m0c2               （5）
由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得
v=(0.37m0c2)/(h)                                      （6）
v′=(0.27m0c2)/(h)                                     （7）
θ=tan-1(v′)/(v)=arctan((27)/(37))=36.1°                      （8）
电子从O点运动到A所需时间为
△t=(L0)/(v)=(2.4L0)/(c)                                    （9）
（2）当观察者相对于S沿OA方向以速度v运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得
L=L0√(1-(v2)/(c2))                                     （10）
L=0.91L₀                                          （11）
答：（1）电子运动速度的大小v为0.42c，电子运动的方向与x轴的夹角θ为36.1°；
电子运动到离原点距离为L₀（作为已知量）的A点所经历的时间△t为(2.4L0)/(c)．
（2）在电子以1中的速度v开始运动时，一观察者S′相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动（即S′相对于电子静止），则S′测出的OA的长度为0.91L₀．