务必要有过程,相距40km的两个城镇A,B之间有一个圆形湖泊,它的圆心落在AB连线的中点O,半径为10km,现要修建一条连接两城镇的公路.经过论证,认为AA'+弧A'B'+B'B为最短路线(其中AA',BB'都与圆O相切).

Question

务必要有过程,相距40km的两个城镇A,B之间有一个圆形湖泊,它的圆心落在AB连线的中点O,半径为10km
,现要修建一条连接两城镇的公路.经过论证,认为AA'+弧A'B'+B'B为最短路线(其中AA',BB'都与圆O相切).你能计算出这断公路的长度吗(结果精确到0.1km ）没有图,不好意思!

Answer 1

首先要证明A',点B'点是线段AA',B'B与圆o的切点 连接A B ,则o点在AB上,AB交圆于2点,设为 C,D ,则在弧CA'上找一点设为A'',这三角形 AA'A''中,AA' 小于 AA''+A'A''小于AA''+弧A'A''所以AA'是最短的距离,且AA'是圆的切线,同理证明BB'也是圆的切线.所以
公路长度=AA'+B'B+弧A'B'
AA'^2=20^2-10^2 =B'B^2
求的AA'=B'B=10√3
弧A'B'=（2π*10）/6=10π/3
公路长度=AA'+B'B+弧A'B'=10√3 +10√3 +10π/3约等于45.1km