定积分∫√(2x–x^2)dx=?积分上线2,下0

Question

定积分∫√(2x–x^2)dx=?积分上线2,下0

Answer 1

∫(2x–x^2)^1/2dx
=∫(2x–x^2-1+1)^1/2dx
=∫(1-(x-1)^2)^1/2dx
令x=1+sint...t=arcsin(x-1)=arcsin(2-1)=π/2...t=arcsin(0-1)=-π/2
=∫(1-(1+sint-1)^2)^1/2d(1+sint)
=∫costd(1+sint)
=∫cost^2dt
由于cos2t=2cost^2-1
=∫1/2(cos2t+1)dt
=1/2(1/2sin2t+t)
=1/4sin2t+1/2t
=(1/4sint2*π/2+1/2*π/2)-(1/4sint2*-(π/2)+1/2*(-π/2))
=π/2
另一种方法是令y=(2x–x^2)^1/2(y>0)
x^2+y^2=2x
(x-1)^2+y^2=1
这是一个以(1,0)为圆心,1为半径的一个圆
对x的0到2积分是圆的上半个圆面积
面积S=π*1*1*1/2=π/2