已知函数f（x）=ex-mx（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）-lnx+x2存在两个零点，求m的取值范围；（3）证明：(1n)n+(2n)n+(3n)n+…+(nn)n＜ee−1．

Question

已知函数f（x）=e^x-mx
（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点，求m的取值范围；
（3）证明：((1)/(n))n+((2)/(n))n+((3)/(n))n+…+((n)/(n))n＜(e)/(e−1)．

Answer 1

（1）当m=1时，f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
当x＜0时，f′（x）＜0，
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（x）=1．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，
得m=(ex−lnx+x2)/(x)，
令h（x）=(ex−lnx+x2)/(x)，
则h′（x）=((x−1)ex+lnx+x2−1)/(x2)，
观察得x=1时，h′（x）=0．
当x＞1时，h′（x）＞0，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（1）=e+1，
∴函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点时m的取值范围是（e+1，+∞）．
（3）由（1）知e^x-x≥1，∴e^x≥x+1，令x=1=(k)/(n)，则x=(k)/(n)−1，
∴e (k)/(n)−1≥(k)/(n)，∴e k−n≥((k)/(n))n
∴((1)/(n))n+((2)/(n))n+((3)/(n))n+…+((n)/(n))n≤e^1-n+e^2-n+…+1=(1−((1)/(e))n)/(1−(1)/(e))＜(e)/(e−1)
所以((1)/(n))n+((2)/(n))n+((3)/(n))n+…+((n)/(n))n＜(e)/(e−1)．        （14分）