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已知函数f(x)=ex-mx(1)当m=1时,求函数f(x)的最小值;(2)若函数g(x)=f(x)-lnx+x2存在两个零点,求m的取值范围;(3)证明:(1n)n+(2n)n+(3n)n+…+(nn)n<ee−1.

题目详情
已知函数f(x)=ex-mx
(1)当m=1时,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-lnx+x2存在两个零点,求m的取值范围;
(3)证明:(
1
n
)n+(
2
n
)n+(
3
n
)n+…+(
n
n
)n<
e
e−1
▼优质解答
答案和解析
(1)当m=1时,f(x)=ex-x,
∴f′(x)=ex-1,
当x<0时,f′(x)<0,
当x>0时,f′(x)>0,
∴f(x)min=f(x)=1.
(2)由g(x)=f(x)-lnx+x2=0,
得m=
ex−lnx+x2
x

令h(x)=
ex−lnx+x2
x

则h′(x)=
(x−1)ex+lnx+x2−1
x2

观察得x=1时,h′(x)=0.
当x>1时,h′(x)>0,
当0<x<1时,h′(x)<0,
∴h(x)min=h(1)=e+1,
∴函数g(x)=f(x)-lnx+x2存在两个零点时m的取值范围是(e+1,+∞).
(3)由(1)知ex-x≥1,∴ex≥x+1,令x=1=
k
n
,则x=
k
n
−1,
∴e 
k
n
−1
k
n
,∴e k−n≥(
k
n
)n
(
1
n
)n+(
2
n
)n+(
3
n
)n+…+(
n
n
)n≤e1-n+e2-n+…+1=
1−(
1
e
)n
1−
1
e
e
e−1

所以(
1
n
)n+(
2
n
)n+(
3
n
)n+…+(
n
n
)n<
e
e−1
.        (14分)