已知函数f(x)=ex-mx(1)当m=1时,求函数f(x)的最小值;(2)若函数g(x)=f(x)-lnx+x2存在两个零点,求m的取值范围;(3)证明:(1n)n+(2n)n+(3n)n+…+(nn)n<ee−1.
已知函数f(x)=e
x-mx
(1)当m=1时,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-lnx+x
2存在两个零点,求m的取值范围;
(3)证明:
()n+()n+()n+…+()n<.
答案和解析
(1)当m=1时,f(x)=e
x-x,
∴f′(x)=e
x-1,
当x<0时,f′(x)<0,
当x>0时,f′(x)>0,
∴f(x)
min=f(x)=1.
(2)由g(x)=f(x)-lnx+x
2=0,
得m=
,
令h(x)=,
则h′(x)=,
观察得x=1时,h′(x)=0.
当x>1时,h′(x)>0,
当0<x<1时,h′(x)<0,
∴h(x)min=h(1)=e+1,
∴函数g(x)=f(x)-lnx+x2存在两个零点时m的取值范围是(e+1,+∞).
(3)由(1)知ex-x≥1,∴ex≥x+1,令x=1=,则x=−1,
∴e −1≥,∴e k−n≥()n
∴()n+()n+()n+…+()n≤e1-n+e2-n+…+1=<
所以()n+()n+()n+…+()n<. (14分)
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