关于数列求和推导的问题求平方数列求和推倒1+4+9+16+25+……=？求立方数列求和推倒1+8+27+64+125+……=？

Question

关于数列求和推导的问题求平方数列求和推倒 1+4+9+16+25+……=？ 求立方数列求和推倒 1+8+27+64+125+……=？

Answer 1

1+2*2+3*3+...+n*n=1+1*2+2+2*3+3+3*4+4+....(n-1)n+n =(1+2+3+...+n)+[1*2+2*3+3*4+....(n-1)*n] =n(n+1)/2+[1*2*3+2*3*3+3*4*3+....(n-1)*n*3]/3 =n(n+1)/2+[1*2*3+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+......(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n]/3 =n(n+1)/2+(n-1)n(n+1)/3=n(n+1)(2n+1)/6立方数列求和推倒(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1 n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1 …… 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 加起来 (n+1)^4-1^4=4*(1^3+2^3+……+n^3)+6*(1^2+2^2+……+n^2)+4*(1+2+……+n)+1*n 因为1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1+2+……+n=n(n+1)/2 带入 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+……+n^3)+6*n(n+1)(2n+1)/6+4*n(n+1)/2+n 所以 4*(1^3+2^3+……+n^3)=(n+1)^4-(n+1)+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)=n^2(n+1)^2 所以1^3+2^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2