已知动点M到A（0，1）的距离比它到x轴的距离多一个单位．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点N（2，1）作曲线C的切线l，求切线l的方程，并求出l与曲线C及y轴所围成图形的面积S．

Question

已知动点M到A（0，1）的距离比它到x轴的距离多一个单位．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点N（2，1）作曲线C的切线l，求切线l的方程，并求出l与曲线C及y轴所围成图形的面积S．

Answer 1

（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），
依题意得：动点M到点A的距离与它到直线y=-1的距离相等，
由抛物线定义知：M的轨迹C是以A为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
其方程为：x²=4y；
（Ⅱ）∵曲线C的方程可写成：y＝(1)/(4)x2，
注意到点N（2，1）在曲线C上，过点N的切线l斜率为y′|_x=2=(1)/(2)x|x＝2＝1，
故所求的切线l的方程为：y-1=x-2，即y=x-1．
由定积分的几何意义，所求的图形的面积
S

＝∫

2 0

((1)/(4)x2−x+1)dx＝((1)/(12)x3−(1)/(2)x2+x)

|

2 0

＝(2)/(3)．