若函数f（x）对其定义域内的任意x1，x2，当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为紧密函数，例如函数f（x）=lnx（x>0）是紧密函数，下列命题：①紧密函数必是单调函数；②函数f（x）=

Question

若函数f（x）对其定义域内的任意x₁，x₂，当f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为紧密函数，例如函数f（x）=lnx（x>0）是紧密函数，下列命题：
①紧密函数必是单调函数；②函数f（x）= (x2+2x+a)/(x)（x>0）在a<0时是紧密函数；
③函数f（x）=

log3x，x≥2

2-x，x<2

是紧密函数；
④若函数f（x）为定义域内的紧密函数，x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
⑤若函数f（x）是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数f′（x）在定义域内的值一定不为零．
其中的真命题是___．

Answer 1

∵函数f（x）对其定义域内的任意x₁，x₂，当f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为紧密函数，
∴紧密函数f（x）的自变量与函数值是一一映射，
单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调的，故①错误；
f（x）=(x2+2x+a)/(x)（x>0）在a<0时是单调递增函数，故一定是紧密函数，故②正确；
函数f（x）=

log3x，x≥2

2-x，x<2

不是一一映射，不是紧密函数，故③错误；
若函数f（x）为定义域内的紧密函数，x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂），故④正确；
函数f（x）=x³是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数f′（x）=3x²在定义域内的值可以为零，故⑤错误；
故答案为：②④