一篮球运动员投篮的命中率为60%，以η表示他首次投中时累计已投篮的次数，则η的数学期望是．

Question

一篮球运动员投篮的命中率为60%，以η表示他首次投中时累计已投篮的次数，则η的数学期望是___．

Answer 1

设随机变量η表示运动员首次投中时累计已投篮的次数，
因为运动员投中的概率为0.6，故投不中的概率为1-0.6=0.4，
由题意知η服从几何分布，
∴P（η=n）=

0.4×0.4×…×0.4

n-1个

×0.6=0.4^n-1•0.6，
∴Eη=1×0.6+2×0.4×0.6+3×0.4²×0.6+…+n×0.4^n-1×0.6，①
0.4Eη=1×0.4×0.6+2×0．42 ×0.6+3×0．43×0.6+…+n×0.4ⁿ×0.6，②
①-②，得0.6Eη=0.6+0.4×0.6+0.4²×0.6+0.4³×0.6+…+0.4^n-1•0.6-n×0.4ⁿ×0.6，
∴Eη=1+0.4+0.4²+0.4³+…+0.4^n-1-n×0.4ⁿ
=(1-0．4n)/(1-0.4)-n×0.4ⁿ，
∴Eη=

lim

n→∞

((1-0．4n)/(1-0.4)-n×0．4n)=(1)/(1-0.4)=(5)/(3)．
故答案为：(5)/(3)．