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(2012•青州市模拟)某公司向市场投放三种新型产品,经调查发现第一种产品受欢迎的概率为45,第二、第三种产品受欢迎的概率分别为p,q(p>q),且不同种产品是否受欢迎相互独立.记

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(2012•青州市模拟)某公司向市场投放三种新型产品,经调查发现第一种产品受欢迎的概率为
4
5
,第二、第三种产品受欢迎的概率分别为p,q(p>q),且不同种产品是否受欢迎相互独立.记ξ为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量,其分布列为
ξ 0 1 2 3
p
2
45
a d
8
45
(1)求该公司至少有一种产品受欢迎的概率;
(2)求p,q的值;
(3)求数学期望Eξ.
▼优质解答
答案和解析
设事件Ai表示“该公司第i种产品受欢迎”,i=1,2,3,由题意知P(A1)=
4
5
,P(A2)=p,P(A3)=q
(1)由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“ξ=0”是对立的,所以该公司至少有一种产品受欢迎的概率是1−P(ξ=0)=1−
2
45
43
45

(2)由题意知P(ξ=0)=P(
.
A1
.
A2
.
A3
)=
1
5
(1−p)(1−q)=
2
45
,P(ξ=3)=P(A1A2A3)=
4
5
pq=
8
45
,整理得pq=
2
9
且p+q=1,由p>q,可得p=
2
3
,q=
1
3

(3)由题意知a=P(ξ=1)=
4
5
(1−p)(1−q)+
1
5
p(1−q)+
1
5
(1−p)q=
13
45

d=P(ξ=2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)−P(ξ=3)=
22
45

因此Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=
27
15
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