市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数

Question

市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=

(16)/(8-x)-1，0≤x≤4

5-(1)/(2)x，4<x≤10

．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．
（1）当一次投放a=4个单位的洗衣液时，求在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度．
（2）在（1）的情况下，即一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，请你写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y（克/升）与时间x（分钟）的函数关系式，求出最低浓度，并判断接下来的四分钟是否能够持续有效去污．

Answer 1

（1）∵a=4，∴y=4•f（x）=

(64)/(8-x)-4，0≤x≤4

20-2x，4<x≤10

．
当x=2时，y=(64)/(8-2)-4=(64)/(6)-4=(20)/(3)
（2）则由（1）知，当0≤x≤4时，由(64)/(8-x)-4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4．
当4<x≤10时，由20-2x≥4，解得x≤8，所以此时4<x≤8．
综上，得0≤x≤8，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟．
（3）当6≤x≤10时，y=2×（5-(1)/(2)x）+2[(16)/(8-(x-6))-1]=（14-x）+(32)/(14-x)-6，
∵14-x∈[4，8]，
∴y=（14-x）+(32)/(14-x)-6≥2√((14-x)•(32)/(14-x))-6=8√(2)-6，
当且仅当14-x=(32)/(14-x)，即x=14-4√(2)时取等号，
∴y有最小值8√(2)-6≈5.2>4，
∴接下来的四分钟能够持续有效去污．
令8√(a)-a-4≥4，解得24-16

作业帮用户 2017-04-17 举报

问题解析

（1）根据条件建立函数关系即可得到结论．
（2）根据（1）的表达式，解不等式即可．
（3）根据条件建立第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y（克/升）与时间x（分钟）的函数关系式，结合基本不等式的应用进行求解即可．

名师点评

本题考点：

分段函数的应用

考点点评：

本题考查函数的应用以及分段函数的意义及基本不等式的运用、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

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