如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l；水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．小物块A

Question

如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l；水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．小物块A静止放置在弹簧右端，A与弹簧接触但不拴接；小物块B从轨道右侧以初速度v₀冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后与物块A发生对心碰撞且瞬间粘连，之后A、B一起压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．物块A、B均可视为质点．
已知R=0.2m，l=1.0m，v₀=6m/s，物块A、B质量均为m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数均为μ=0.2，轨道其他部分摩擦不计．取g=10m/s²．求：
（1）物块B与物块A碰撞前速度大小；
（2）物块B与物块A碰后返回到圆形轨道的高度；
（3）调节PQ段的长度l，B仍以v₀从轨道右侧冲上轨道，当l满足什么条件时，A、B物块能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道？

Answer 1

（1）物块A冲上圆形轨道后回到最低点速度为v₀=2√(3)m/s，
与弹簧接触瞬间，-μmgl=(1)/(2)m

v

2 1

-(1)/(2)m

v

2 0

，
可得，物块A与弹簧刚接触时的速度大小v1=2√(2)m/s；
（2）A被弹簧以原速率v₁弹回，向右经过PQ段，
有

v

2 2

-

v

2 1

=-2μgl；解得A速度 v₂=2m/s，
A滑上圆形轨道，有-mgh=0-(1)/(2)m

v

2 2

，
（也可以应用 -μ×mgl-mgh=(1)/(2)m

v

2 2

-(1)/(2)m

v

2 1

）
可得，返回到右边轨道的高度为h=0.2m=R，符合实际．
（3）物块A以v₀冲上轨道直到回到PQ段右侧，
有v

′

2 1

-

v

2 0

=-2μg×2l，
可得，A回到右侧速度：v

′

2 1

=(12-8l)(m/s)2，
要使A能返回右侧轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道，则有：
①若A沿轨道上滑至最大高度h时，速度减为0，则h满足：0<h≤R，
根据机械能守恒：(1)/(2)mv

′

2 1

=mgh联立可得，1.0m≤l<1.5m；
②若A能沿轨道上滑至最高点，则满足：(1)/(2)mv

′

2 1

=mg×2R+(1)/(2)mv

′

2 2

且m(v′22)/(R)≥mg，
联立得 l≤0.25m，综上所述，要使A物块能第一次返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，
l满足的条件是1.0m≤l<1.5m或 l≤0.25m；
答：（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小为2

作业帮用户 2017-03-17 举报

问题解析

（1）物块A从Q到P过程中，运用动能定理，结合摩擦力做功，从而求出物块A与弹簧刚接触时的速度大小．
（2）根据运动学公式求得回到圆轨道的速度大小，再根据动能定理求出A能够上升的高度，并讨论能否达到此高度．
（3）A物块能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道，要么能够越过圆轨道的最高点，要么在圆轨道中上升的高度不要超过圆轨道的半径，结合动能定理、动量守恒定律和牛顿第二定律求出l所满足的条件．

名师点评

本题考点：

动能定理的应用 向心力

考点点评：

本题综合考查了动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律，以及知道小球不脱离圆轨道的条件，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．

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