对于函数f（x）及其定义域内的一个区间[m，n]（m<n），若f（x）在[m，n]内的值域为[m，n]，则称[m，n]为f（x）的保值区间．函数f（x）=ax2-2x的保值区间能否是[-1，2]？若能，求出a的一个值；

Question

对于函数f（x）及其定义域内的一个区间[m，n]（m<n），若f（x）在[m，n]内的值域为[m，n]，则称[m，n]为f（x）的保值区间．函数f（x）=ax²-2x的保值区间能否是[-1，2]？若能，求出a的一个值；若不能，说明理由．

Answer 1

由于f（x）=ax²-2x，
当a=0时，f（x）=-2x，假设其“保值区间”是[-1，2]，
由f（x）=-2x为减函数得：

f(-1)=2

f(2)=-4≠-1

，
故a=0时不成立；
当a>0时，f（x）=ax²-2x的对称轴为x=(1)/(a)>0，
若 (1)/(a)≥2，y=f（x）在[-1，2]为减函数，

f(-1)=a+2=2

f(2)=4a-4=-1

，解得a∈∅；
若 (1)/(a)∈（0，2]，则f（ (1)/(a)）=-1，且（f（-1），f（2））_max=2，解得：a=1，但f（-1）=3，f（2）=0，不满足题意；
由上面的分析可知，a>0时，与题意不符；
当a<0时，f（x）=ax²-2x的对称轴为x=(1)/(a)<0，
若 (1)/(a)≤-1，y=f（x）在[-1，2]为减函数，同理可得，a∈∅；
若 (1)/(a)∈[-1，0]，则f（ (1)/(a)）=2，解得：a=-(1)/(2)，f（x）=-(1)/(2)x²-2x，又f（-1）=(3)/(2)，f（2）=-6，不满足题意；
故a<0时，也不符合题意；
综上所述，不存在a使得函数f（x）=ax²-2x的“保值区间”是[-1，2]．